一、机器数和真值

1. 机器数

一个数在计算机中的二进制表示，叫做这个数的机器数。机器数是带符号的，在计算机中，用一个数的最高位存放符号，正数为0，负数为1。

例如十进制中的7，计算机字长为8位（以下均采用字长为8位的），它的机器数就是：

0 0 0 0 0 1 1 1

而-7的机器数为：

1 0 0 0 0 1 1 1

2. 真值

机器数的第一位是符号位，后边才是真正的数值。为区别起见，将带符号位的机器数对应的真正数值称为机器数的真值。

例：

0 0 0 0 0 1 1 1 的真值 = +0000111 = 7

1 0 0 0 0 0 1 1 的真值 = -0000011 = -3

二、数的原码、反码、补码

1. 原码

原码就是符号位加上真值的绝对值，即用第一位表示符号，其余位表示值。表示形式与机器数相同。

+1 的原码 = 0 0 0 0 0 0 0 1

-1 的原码 = 1 0 0 0 0 0 0 1

由此可知，8位二进制数的取值范围为：

【1 1 1 1 1 1 1 1, 0 1 1 1 1 1 1 1】=【-127,127】

计算机中的运算器只有加法运算器，因此，减法需要转换成加一个负数的形式，例如1-1 = 1+(-1) = 0。 用原码来计算：

结果为 -2

请你思考：为什么会出现这样的结果？ 因为引入了符号位。两个正数相加时，符号位都是0，其余各位相加，得出的结果是正确的；一旦有负数参与运算，就会得出错误的结果。 怎么解决这个问题呢？首先考虑：一个负数就是一个正数的相反数，且它们的和为0。 例如：-1 + 1 = 0。 那么，我们尝试用一个正数按位取反来表示一个负数，是否能准确计算正负数相加呢？

2. 反码

正数的反码：其本身。 负数的反码：在原码的基础上，符号位不变，其余各位取反。

例如： +1 = 0 0 0 0 0 0 0 1（原码） = 0 0 0 0 0 0 0 1（反） -1 = 1 0 0 0 0 0 0 1（原码） = 1 1 1 1 1 1 1 0（反）

尝试计算：-1 + 1：

注意，这里是用反码计算，所以结果需要进行“符号位不变，其余各位取反”的操作，即转换成原码为 1000000= -0 = 0。计算结果是正确的。 解决了正数与负数相加的问题，现在尝试计算两个负数相加 -1 - 1：

将结果转换为原码：10000011(原) = -3 ，但-1 -1 = -2，计算结果错误，因此引入了补码，以此解决负数相加的问题。

3. 补码

正数的补码：其本身。 负数的补码：符号位不变，其余各位取反，最后+1（即在反码的基础上+1）。

用补码计算-1 -1 ：

将结果转换为原码（先-1，再符号位不变，其余各位取反）： 10000010（原码）=-2

补码的表示方式可以计算正数相加、正负数相加、负数相加的所有情况，因此，数值在计算机中以补码的方式存储。

三、数的定点表示和浮点表示

在计算机中小数一般有两种表示方法：一种是小数点固定在某一位置的定点表示法，另一种是小数点的位置可任意移动的浮点表示法。

1. 定点表示法

机器中所有小数点位置是固定不变的，因此小数点不必特别标记。

2. 浮点表示法

用定点表示法时，由于数的表示范围较窄常常不能满足各种数值问题的需要。为了扩大数的范围表示范围，引入浮点表示法。

表示一个浮点数，需要两部分：

1. 尾数，用以表示数的有效数值；
2. 阶码，用以表示小数点在该数中的位置。

计算机多数情况下采用浮点表示法，它与科学计数法相似，把一个二进制数通过移动小数点位置表示成阶码和尾数两部分：

四、习题

1. 十进制数-103的补码是()。

{{ select(1) }}

• 10011001
• 11100111
• 10110011
• 00011001

2. 在字长为16位的系统环境下，一个16位带符号整数的二进制补码为：1111111111101101。其对应的十进制整数应该是()。

{{ select(2) }}

• 19
• -19
• 18
• -18

3. 把64位非零浮点数强制转换成32位浮点数后，不可能()。

{{ select(3) }}

• 大于原数
• 小于原数
• 等于原数
• 与原数符号相反

4. 计算机中的数值信息分为整数和实数(浮点数)。实数之所以能表示很大或者很小的数，是由于使用了()。

{{ select(4) }}

• 阶码
• 补码
• 反码
• 较长的尾数

5. 下列各无符号十进制整数中，能用八位二进制表示的数中最大的是()。

{{ select(5) }}

• 296
• 133
• 256
• 199

6. 已知x = 0.1011010B，则$[x/2]_补$= （）。

{{ select(6) }}

• 0.1011101
• 11110110
• 0.0101101
• 0.100110

7. 一个数的补码表示为10001001，下列()是它的原码表示。

{{ select(7) }}

• 11110111
• 11110101
• 11111000
• 11110110

8. 2E+03表示()。

{{ select(8) }}

• 2000
• 2.03
• 5
• 8

9. 一个浮点数表示为$2^{+6}$ * 0.1000101，它的值用十进制表示为()。

{{ select(9) }}

• 5
• -2.1
• 34.5
• 5

10. 关于零的原码、补码、反码，下列说法正确的是()。

{{ select(10) }}

• 零的原码表示只有一种
• 零的反码表示只有一种
• 零的补码只有一种
• 零的原码、反码和补码表示都有两种